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数学学习者
2小时前
如何证明欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0？
我在学习复数分析时遇到了欧拉公式，感觉这个公式很美但不知道如何证明。能否用多种方法来证明这个公式？
欧拉公式：$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
这个公式联系了五个基本数学常数：e, i, π, 1, 0
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数学专家
1小时前
欧拉公式可以通过泰勒级数展开来证明。我们知道：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$
将 $x = i\theta$ 代入 $e^x$ 的展开式即可得到欧拉公式。
数学教授
30分钟前
自动精选
我提供三种证明方法：
方法一：泰勒级数法
方法二：复平面几何法
在复平面上，$e^{i\theta}$ 表示单位圆上的点，角度为 $\theta$。当 $\theta = \pi$ 时，点在 (-1, 0) 位置。
方法三：微分方程法
考虑函数 $f(\theta) = e^{i\theta}$，满足 $f'(\theta) = if(\theta)$，解这个微分方程可得欧拉公式。
方法一：泰勒级数法
$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$
令 $x = \pi$，则 $e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1 + 0 = -1$
因此 $e^{i\pi} + 1 = 0$
方法二：复平面几何法
在复平面上，$e^{i\theta}$ 表示单位圆上的点，角度为 $\theta$。当 $\theta = \pi$ 时，点在 (-1, 0) 位置。
方法三：微分方程法
考虑函数 $f(\theta) = e^{i\theta}$，满足 $f'(\theta) = if(\theta)$，解这个微分方程可得欧拉公式。
大学生
4小时前
如何理解线性代数中的特征值和特征向量？
在学习线性代数时，特征值和特征向量的概念让我感到很困惑。它们的几何意义是什么？在实际中有什么应用？
定义：对于方阵 $A$，如果存在非零向量 $v$ 和标量 $\lambda$ 使得
$$Av = \lambda v$$
则称 $\lambda$ 为特征值，$v$ 为对应的特征向量。
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研究生
昨天
如何计算这个复杂的积分？
我在做微积分作业时遇到了这个积分，尝试了很多方法都没有成功：
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$$
请问这个积分应该怎么计算？有什么技巧吗？
已解决
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数学教授
昨天
自动精选
这个积分被称为狄利克雷积分，可以使用复变函数或拉普拉斯变换来计算。
方法一：复变函数法
方法二：拉普拉斯变换法
方法一：复变函数法
考虑函数 $f(z) = \frac{e^{iz}}{z}$，沿适当的围道积分...
方法二：拉普拉斯变换法
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$$
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